Movendo média acf

Identificando os números de AR ou MA termos em um modelo ARIMA. ACF e PACF plots Depois de uma série de tempo foi estacionária por diferenciação, a próxima etapa na montagem de um ARIMA modelo é determinar se AR ou MA termos são necessários para corrigir qualquer autocorrelação que Permanece na série diferenciada Claro, com software como Statgraphics, você poderia apenas tentar algumas combinações diferentes de termos e ver o que funciona melhor Mas há uma maneira mais sistemática de fazer isso Ao olhar para a função de autocorrelação ACF e parciais autocorrelação PACF parcelas de As séries diferenciadas, você pode tentativamente identificar os números de AR e ou MA termos que são necessários Você já está familiarizado com o ACF parcela é apenas um gráfico de barras dos coeficientes de correlação entre uma série de tempo e defasagens de si mesmo O PACF parcela é Um gráfico dos coeficientes de correlação parcial entre as séries e defasagens de si. Em geral, a correlação parcial entre duas variáveis ​​é a quantidade de correlação entre Por exemplo, se estivermos regredindo uma variável Y em outras variáveis ​​X1, X2 e X3, a correlação parcial entre Y e X3 é a quantidade de correlação entre Y e X3 que não é explicado por suas correlações comuns com X1 e X2 Esta correlação parcial pode ser computada como a raiz quadrada da redução na variância que é conseguida pela adição de X3 à regressão de Y em X1 e X2. Uma auto-correlação parcial É a quantidade de correlação entre uma variável e uma defasagem de si mesma que não é explicada por correlações em todas as lâminas de ordem inferior A autocorrelação de uma série de tempo Y com o atraso 1 é o coeficiente de correlação entre Y t e Y t-1 que É presumivelmente também a correlação entre Y t -1 e Y t -2 Mas se Y t está correlacionado com Y t -1 e Y t -1 está igualmente correlacionado com Y t -2 então também devemos esperar encontrar correlação entre Y t E Y t-2 Na verdade, a quantidade de correlação Assim, a correlação no retardo 1 propaga-se para o retardo 2 e presumivelmente para atrasos de ordem superior. A autocorrelação parcial no retardo 2 é, portanto, a diferença entre a correlação real em Lag 2 ea correlação esperada devido à propagação da correlação no retardo 1.Aqui está a função de autocorrelação ACF da série UNITS, antes de qualquer diferenciação ser realizada. As autocorrelações são significativas para um grande número de defasagens - mas talvez as autocorrelações em Os atrasos 2 e acima são meramente devidos à propagação da autocorrelação à defasagem 1. Isto é confirmado pelo gráfico PACF. Note-se que o gráfico PACF tem um pico significativo apenas no retardo 1, o que significa que todas as autocorrelações de ordem superior são efetivamente explicadas por A autocorrelação lag-1. As autocorrelações parciais em todos os atrasos podem ser calculadas ajustando uma sucessão de modelos autorregressivos com números crescentes de defasagens. A autocorrelação à lag k é igual ao coeficiente de ARk estimado em um modelo autorregressivo com k termos - ie um modelo de regressão múltipla em que Y é regredido em LAG Y, 1, LAG Y, 2, etc. até LAG Y, k Assim, Por mera inspeção do PACF você pode determinar quantos termos AR você precisa usar para explicar o padrão de autocorrelação em uma série de tempo se a autocorrelação parcial é significativa em lag k e não significativas em qualquer maior atraso de ordem - ou seja, se o PACF cortes Off em lag k - então isso sugere que você deve tentar ajustar um modelo autorregressivo de ordem k. O PACF da série UNITS fornece um exemplo extremo do fenômeno de corte que tem um pico muito grande no atraso 1 e nenhum outro significativo Spikes, indicando que na ausência de diferenciação um modelo AR 1 deve ser usado. No entanto, o termo AR 1 neste modelo resultará ser equivalente a uma primeira diferença, porque o coeficiente AR 1 estimado que é a altura do pico PACF No intervalo 1 será quase exatamente e Qual a 1 Agora, a equação de previsão para um modelo AR 1 para uma série Y sem ordens de diferenciação é. Se o coeficiente AR1 1 nesta equação for igual a 1, é equivalente a prever que a primeira diferença de Y é Constante - ou seja, é equivalente à equação do modelo de caminhada aleatória com crescimento. O PACF da série UNITS está nos dizendo que, se não fizermos diferença, então devemos ajustar um modelo AR 1 que acabará por ser Equivalente a tomar uma primeira diferença Em outras palavras, ele está nos dizendo que UNITS realmente precisa de uma ordem de diferenciação para ser estacionária. AR e MA assinaturas Se o PACF exibe um afiado corte enquanto o ACF decai mais lentamente ou seja, tem picos significativos em maiores defasagens , Dizemos que a série estacionária exibe uma assinatura AR, o que significa que o padrão de autocorrelação pode ser explicado mais facilmente adicionando termos AR do que adicionando termos MA. Você provavelmente encontrará que uma assinatura AR é comumente associada com autocorrelação positiva em Por exemplo, em um modelo AR 1, o termo AR atua como uma variável de previsão. Primeira diferença se o coeficiente auto-regressivo é igual a 1, não faz nada se o coeficiente auto-regressivo é zero, e age como uma diferença parcial se o coeficiente estiver entre 0 e 1. Assim, se a série é ligeiramente subdiferenciada - ou seja, se o nonstationary O padrão de autocorrelação positiva não foi completamente eliminado, ele pedirá uma diferença parcial exibindo uma assinatura AR. Portanto, temos a seguinte regra para determinar quando adicionar termos AR. Regra 6 Se o PACF da série diferenciada exibir um Corte acentuado e ou a autocorrelação lag-1 é positiva --e se a série aparece ligeiramente subdifferenced - então considerar adicionar um termo AR para o modelo O atraso em que o PACF corta é o número indicado De AR termos. Em princípio, qualquer padrão de autocorrelação pode ser removido de uma série estacionária, adicionando termos suficientes autorregressivo termos da série estacionária para a equação de previsão, eo PACF diz-lhe quantos tais termos são prováveis ​​ser necessários No entanto, este não é Sempre a maneira mais simples de explicar um determinado padrão de autocorrelação às vezes é mais eficiente adicionar MA termos de atrasos dos erros de previsão em vez A função de autocorrelação ACF desempenha o mesmo papel para MA termos que o PACF joga para AR termos - ou seja, o ACF diz-lhe quantos termos MA são susceptíveis de ser necessários para remover a autocorrelação restante da série diferenciada Se a autocorrelação é significativa em lag k, mas não em qualquer atrasos mais elevados - ou seja, se a ACF cortes no lag k-- isso indica Que exatamente k MA termos devem ser usados ​​na equação de previsão Neste último caso, dizemos que a série estacionária exibe uma assinatura MA, o que significa que o padrão de autocorrelação pode ser expla Uma assinatura MA é comumente associada com autocorrelação negativa com atraso 1 - ou seja, tende a surgir em séries que são ligeiramente mais diferenciadas A razão para isso é que um termo MA pode parcialmente Cancelar uma ordem de diferenciação na equação de previsão Para ver isso, lembre-se que um modelo ARIMA 0,1,1 sem constante é equivalente a um modelo de Suavização Exponencial Simples A equação de previsão para este modelo é. Onde o coeficiente MA 1 1 corresponde ao Quantidade 1 - no modelo SES Se 1 é igual a 1, isso corresponde a um modelo SES com 0, que é apenas um modelo CONSTANTE porque a previsão nunca é atualizada. Isso significa que quando 1 é igual a 1, ele está realmente cancelando A operação de diferenciação que normalmente permite que a previsão SES se ancore novamente na última observação. Por outro lado, se o coeficiente de média móvel for igual a 0, este modelo se reduz a um modelo de caminhada aleatória - ou seja, Ferencing operação sozinho Então, se 1 é algo maior do que 0, é como se estamos parcialmente cancelar uma ordem de diferenciação Se a série já é ligeiramente mais diferenciado - ou seja, se autocorrelação negativa foi introduzida - então ele vai pedir uma Diferença para ser parcialmente cancelada exibindo uma assinatura MA Muita agitação de braço está acontecendo aqui Uma explicação mais rigorosa deste efeito é encontrada na estrutura Matemática de Modelos ARIMA folheto Daí a seguinte regra adicional de polegar. Se o ACF Da série diferenciada exibe um corte acentuado e ou a autocorrelação lag-1 é negativa --e se a série aparece ligeiramente sobredifferenciada - então considere a adição de um termo MA ao modelo O intervalo em que a ACF corta é o número indicado de MA terms. A modelo para a série UNITS - ARIMA 2,1,0 Anteriormente, determinou que a série UNITS precisou de pelo menos uma ordem de diferenciação não sazonal para ser estacionária Depois de tomar uma diferença não sazonal - ou seja, Se um modelo ARIMA 0,1,0 com constante - as parcelas ACF e PACF parecem ser as seguintes. Observe que a correlação com o atraso 1 é significativa e positiva, e b o PACF mostra um corte mais nítido do que o ACF. Assim, de acordo com a Regra 7 acima, a série diferenciada exibe uma assinatura AR 2 Se, portanto, definimos a ordem do termo AR para 2 - ou seja, ajustar um ARIMA 2,1, 0 - obtemos as seguintes parcelas de ACF e PACF para os resíduos. A autocorrelação nos atrasos cruciais - ou seja, os retornos 1 e 2 - foi eliminada e não há nenhum padrão discernível em atrasos de ordem superior. Dos resíduos apresenta uma tendência ligeiramente preocupante de se afastar da média. No entanto, o relatório de resumo de análise mostra que o modelo, no entanto, tem um desempenho bastante bom no período de validação, ambos os coeficientes AR são significativamente diferentes de zero eo desvio padrão dos resíduos Foi reduzido de 1 54371 t O 1 4215 cerca de 10 pela adição dos termos AR Além disso, não há sinal de uma raiz unitária porque a soma dos coeficientes AR 0 252254 0 195572 não é próxima de 1 Raízes unitárias são discutidas em mais detalhes abaixo Em geral, Este parece ser um bom modelo. As previsões não-transformadas para o modelo mostram uma tendência linear ascendente projetada para o futuro. A tendência nas previsões de longo prazo é devido ao fato de que o modelo inclui uma diferença não sazonal e um termo constante este modelo é Basicamente uma caminhada aleatória com crescimento ajustado pela adição de dois termos autorregressivos - ou seja, dois atrasos das séries diferenciadas A inclinação das previsões de longo prazo ou seja, o aumento médio de um período para outro é igual ao termo médio na Resumo do modelo 0 467566 A equação de previsão é. Onde é o termo constante no resumo do modelo 0 258178, 1 é o coeficiente AR 1 0 25224 e 2 é o coeficiente AR 2 0 195572.Mean versus constant Em geral, o termo médio no Saída de um AR O modelo IMA refere-se à média das séries diferenciadas, isto é, a tendência média se a ordem de diferenciação for igual a 1, enquanto que a constante é o termo constante que aparece no lado direito da equação de previsão Os termos médio e constante são Relacionado pela equação. CONSTANTE MEAN 1 menos a soma dos coeficientes AR. Neste caso, temos 0 258178 0 467566 1 - 0 25224 - 0 195572.Modelo alternativo para a série UNITS - ARIMA 0,2,1 Lembre-se que Quando começamos a analisar a série UNITS, não tínhamos certeza absoluta da ordem correta de diferenciação para usar. Uma ordem de diferenciação não sazonal produziu o desvio padrão mais baixo e um padrão de autocorrelação positiva moderada, enquanto duas ordens de diferenças não sazonais renderam uma maior estacionária Mas com uma autocorrelação negativa bastante forte Aqui estão tanto o ACF como o PACF da série com duas diferenças não sazonais. O único ponto negativo no intervalo 1 no ACF é uma assinatura de MA 1, G à Regra 8 acima Assim, se usássemos 2 diferenças não sazonais, também gostaríamos de incluir um termo MA 1, produzindo um modelo ARIMA 0,2,1 De acordo com a Regra 5, também queremos suprimir o termo constante Aqui, então, são os resultados da montagem de um modelo ARIMA 0,2,1 sem constante. Observe que o desvio padrão de ruído branco estimado RMSE é apenas muito ligeiramente superior para este modelo que o anterior 1 46301 aqui versus 1 45215 anteriormente A previsão Se que este é semelhante a um modelo Linear Exponential Smoothing, com o coeficiente MA 1 correspondente à quantidade 2 1-alfa no modelo LES. O coeficiente MA 1 de 0 76 neste modelo sugere que um modelo LES com alfa na vizinhança de 0 72 caberia aproximadamente igualmente bem. Na verdade, quando um modelo LES é ajustado para os mesmos dados, o valor ótimo de alfa resulta em cerca de 0 61, o que é Não muito longe Aqui está um relatório de comparação de modelos que Mostra os resultados do ajuste do modelo ARIMA 2,1,0 com constante, do modelo ARIMA 0,2,1 sem constante e do modelo LES. Os três modelos apresentam um desempenho quase idêntico no período de estimação eo modelo ARIMA 2,1, 0 modelo com constante aparece ligeiramente melhor do que os outros dois no período de validação Com base nestes resultados estatísticos sozinho, seria difícil escolher entre os três modelos No entanto, se traçar as previsões de longo prazo feitas pelo ARIMA 0, 2,1 modelo sem constante que são essencialmente os mesmos que os do modelo LES, vemos uma diferença significativa daqueles do modelo anterior. As previsões têm um pouco menos de uma tendência ascendente do que os do modelo anterior - porque o local Tendência próxima ao final da série é ligeiramente menor do que a tendência média em toda a série -, mas os intervalos de confiança alargar muito mais rapidamente O modelo com duas ordens de diferenciação assume que a tendência da série é variável no tempo, portanto, considera O futuro distante Para ser muito mais incerto do que o modelo com apenas uma ordem de diferenciação. Qual modelo devemos escolher Isso depende das suposições que são confortáveis ​​fazendo com respeito à constância da tendência nos dados O modelo com apenas uma ordem de diferenciação assume Uma tendência média constante - é essencialmente um modelo aleatório de caminhada aleatória com crescimento - e, portanto, faz projeções de tendência relativamente conservadoras Também é bastante otimista sobre a precisão com que ele pode prever mais de um período a frente O modelo com dois As ordens de diferenciação assumem uma tendência local variando no tempo - é essencialmente um modelo de suavização exponencial linear - e suas projeções de tendência são um pouco mais inconstantes. Como regra geral neste tipo de situação, eu recomendaria escolher o modelo com o menor Ordem de diferenciação, sendo as outras coisas praticamente iguais Na prática, os modelos de caminhada aleatória ou simples-exponencial-suavização parecem funcionar melhor do que a suavização exponencial linear Modelos misturados Na maioria dos casos, o melhor modelo resulta em um modelo que usa apenas termos AR ou apenas termos MA, embora em alguns casos um modelo misto com termos AR e MA possa fornecer o melhor ajuste para os dados. Deve ser exercido quando se encaixam modelos mistos É possível que um termo AR e um termo MA cancelem efeitos uns dos outros mesmo que ambos possam parecer significativos no modelo, conforme julgado pelas estatísticas t dos seus coeficientes. Assim, por exemplo, suponha que O modelo correto para uma série de tempo é um modelo ARIMA 0,1,1, mas em vez disso você se encaixa um modelo ARIMA 1,1,2 - ou seja, você inclui um termo AR adicional e um termo MA adicional Em seguida, os termos adicionais podem acabar Aparentemente significativas no modelo, mas internamente elas podem estar simplesmente trabalhando uma contra a outra. As estimativas de parâmetros resultantes podem ser ambíguas, eo processo de estimação de parâmetros pode levar muito, por exemplo, mais de 10 iterações para convergir. Termo e um termo de MA para Cancelar uns aos outros s efeitos, por isso, se um modelo misturado AR-MA parece ajustar-se aos dados, também tentar um modelo com um prazo AR menos e um termo menos MA - especialmente se o parâmetro estimativas no modelo original exigem mais de 10 iterações Por isso, os modelos ARIMA não podem ser identificados pela abordagem stepwise que inclui tanto AR e MA termos Em outras palavras, você não pode começar por incluir vários termos de cada tipo e, em seguida, jogando para fora aqueles cujos coeficientes estimados não são significativos Em vez disso, , Você normalmente segue uma abordagem passo-a-passo avançado, adicionando termos de um tipo ou outro como indicado pelo aparecimento do ACF e PACF plots. Unit raízes Se uma série é grosseiramente sub ou overdifferenced - ou seja, se toda uma ordem de necessidades de diferenciação A ser adicionado ou cancelado, isto é frequentemente sinalizado por uma raiz unitária nos coeficientes AR ou MA estimados do modelo Um modelo AR 1 é dito ter uma raiz unitária se o coeficiente AR 1 estimado for quase exactamente igual a 1 Por e Xactly equal Eu realmente quero dizer não significativamente diferente em termos de coeficiente s próprio erro padrão Quando isso acontece, isso significa que o termo AR 1 é precisamente imitando uma primeira diferença, caso em que você deve remover o termo AR 1 e adicionar uma ordem De diferenciação em vez disso. Isso é exatamente o que aconteceria se você ajustasse um modelo AR 1 para a série UNITS não diferenciada, como observado anteriormente. Em um modelo AR de ordem superior, existe uma raiz unitária na parte AR do modelo se a soma da AR Coeficientes é exatamente igual a 1 Neste caso, você deve reduzir a ordem do termo AR por 1 e adicionar uma ordem de diferenciação A série de tempo com uma raiz unitária nos coeficientes AR é não-estacionário --e ele precisa de uma ordem mais alta de diferenciação. Regra 9 Se houver uma raiz unitária na parte AR do modelo - ou seja, se a soma dos coeficientes AR for quase exatamente 1 - você deve reduzir o número de termos AR por um e aumentar a ordem de diferenciação por um. Da mesma forma, um modelo MA 1 é dito ter um Raiz se o coeficiente MA 1 estimado for exatamente igual a 1 Quando isso acontece, isso significa que o termo MA 1 está exatamente cancelando uma primeira diferença, caso em que você deve remover o termo MA 1 e também reduzir a ordem de diferenciação por Em um modelo MA de ordem superior, existe uma raiz unitária se a soma dos coeficientes MA for exatamente igual a 1.Rule 10 Se houver uma raiz unitária na parte MA do modelo - ou seja, se a soma da MA Coeficientes é quase exatamente 1 - você deve reduzir o número de termos de MA por um e reduzir a ordem de diferenciação por um. Por exemplo, se você ajustar um modelo de alisamento linear exponencial um ARIMA 0,2,2 modelo quando um simples suavização exponencial Modelo um modelo ARIMA 0,1,1 teria sido suficiente, você pode achar que a soma dos dois coeficientes MA é quase igual a 1 Ao reduzir a ordem MA e a ordem de diferenciação por um cada, você obtém o mais adequado Modelo SES Um modelo de previsão com uma raiz unitária nos coeficientes estimados de MA é s Ajuda a ser não-reversível significando que os resíduos do modelo não pode ser considerado como estimativas do ruído aleatório real que gerou a série temporal. Outro sintoma de uma raiz unitária é que as previsões do modelo pode explodir ou comportar-se de forma estranha Se o tempo Série de previsões de longo prazo do modelo parece estranho, você deve verificar os coeficientes estimados do seu modelo para a presença de uma unidade de raiz. Rule 11 Se as previsões de longo prazo aparecem errático ou instável, pode haver uma unidade de raiz Nos coeficientes AR ou MA. Nenhum destes problemas surgiu com os dois modelos aqui montados, porque tínhamos o cuidado de começar com ordens plausíveis de diferenças e números apropriados de coeficientes AR e MA, estudando os modelos ACF e PACF. Raízes unitárias e efeitos de cancelamento entre AR e MA termos podem ser encontrados na estrutura matemática de modelos ARIMA handout. AR MA, ARMA Acf - Pacf visualizações. Como mencionado no post anterior eu tenho Trabalhando com Simulações Autoregressivas e de Média Móvel Para testar a correção de estimativas por nossas simulações, empregamos autocorrelação acf e autocorrelação parcial pacf para o nosso uso Para diferentes ordens de AR e MA, obtemos as visualizações variáveis ​​com eles, como: Decrescência exponencial Curvas. Sinusoidal afetada. Pontas positivas e negativas, etc. Enquanto analisa e escrevo testes para o mesmo, eu também levei algum tempo para visualizar esses dados em ilne e gráficos de barras para obter uma imagem mais clara. Simulação autorregressiva com ordem p 1, ou seja, com um valor de phi Ideal AR p processo é representado por Para simular isso, instale statsample-timeseries a partir daqui. Aqui, número de observações, n 1500 maior valor é preferrable para melhor ajuste, p 1 , Com phi 0 9. Para gerá-lo s autocorrelation. For um processo AR 1, acf deve exponencialmente decaimento se phi 0 ou alternar em sinal se phi 0 Ref Ir através da análise acima Ele pode ser visualizado como Quando phi 0 acf decrea Ses exponencialmente Quando phi 0 você obtém as alternadas acf lags. To gerá-lo s autocorrelation parcial. Para o processo AR 1, pacf deve ter um pico na defasagem 1, então 0 pico anterior deve ser positivo se phi 0 caso contrário, pico negativo Tenha um olhar Na série pacf gerada acima Ao visualizar os dados Quando phi 0 positivo lag em 1 e 0 contém 1 0 Quando phi 0 negativo lag em 1.Aqui está a representação de ideal acf-vs-pacf positivo phi em AR 1.AR P Processo. Simulação do processo AR p é semelhante a AR 1.Para AR p, acf deve dar uma onda senoidal de amortecimento O padrão é muito dependente do valor e sinal dos parâmetros phi Quando o conteúdo positivo em coeficientes phi é mais, você terá um Onda senoidal a partir do lado positivo, senão, onda senoidal começará a partir do lado negativo Observe, a onda sinusoidal amortecedora a partir do lado positivo aqui e lado negativo here. pacf dá espiga no valor de 0 lag 0 0, padrão e de lag 1 a lag k O exemplo acima, apresenta o processo AR 2, para isso, precisamos obter T lag 1 - 2 processo as. MA 1 process. MA 1 é a simulação de média móvel com ordem q 1 ie, com um valor de theta Para simular isso, use o método masim do Statsample ARIMA ARIMA. Para theta 0 para MA 1 devemos Obter um pico positivo em lag 1 como Para theta 0 o pico em lag 1 deve estar em direção negatie como. Quando eu colocar essas duas visualizações de lado um do outro, a visualização parece bastante fit. MA q process. MA q processo Ordem q Número de Theta q Processo ideal MA q é representado por. Similar a simulação AR 1, ele terá picos de atraso 1 - lag p as. In pacf de simulação MA q, observamos exponencialmente decadência amortecimento seno wave. ARMA p, processo q. ARMA p, q é combinação de simulações de média auto-regressiva e média móvel quando q 0 o processo é chamado como processo autoregressivo puro quando p 0 o processo é puramente móvel média O simulador de ARMA pode ser encontrado como armasim no ARIMA ARIMA ARMA Para ARMA 1, Processo, aqui estão as comparações das visualizações de R e th É o código, que acabou de fazer o meu dia. Cheers, - Ankur Goel. Posted por Ankur Goel 20 de julho 2017.Recent Posts. GitHub Repos.2 1 Modelos de média móvel MA models. Time série modelos conhecidos como ARIMA modelos podem incluir termos autorregressivos e Ou termos de média móvel Na Semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de série temporal para a variável xt é um valor retardado de xt Por exemplo, um termo autorregressivo de atraso 1 é x t-1 multiplicado por um coeficiente Esta lição define a média móvel Um termo de média móvel em um modelo de série de tempo é um erro passado multiplicado por um coeficiente. Vamos sobrepor N 0, sigma 2w, significando que o wt são distribuídos de forma idêntica, independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e o mesmo Variância. O modelo de média móvel de 1ª ordem, denotado por MA 1 é. Xt mu wt theta1w. O modelo de média móvel de ordem 2, denotado por MA 2 é. Xt mu wt theta1w theta2w. O modelo de média móvel de ordem q, denotado por MA q é. Muitos textos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos Isto não muda as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e os termos não-quadrados em Fórmulas para ACFs e variâncias Você precisa verificar seu software para verificar se sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série de Tempo com Um MA 1 Model. Note que o único valor diferente de zero no ACF teórico é para atraso 1 Todas as outras autocorrelações são 0 Assim, uma amostra ACF com uma autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA 1. Para os estudantes interessados, Provas dessas propriedades são um apêndice a este handout. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA 1 é xt 10 wt 7 w t-1 onde wt overset N 0,1 Assim, o coeficiente 1 0 7 Th E o ACF teórico é dado por. Uma parcela deste ACF segue. O gráfico apenas mostrado é o ACF teórico para um MA 1 com 1 0 7 Na prática, uma amostra won t normalmente fornecer um tal padrão claro Usando R, simulamos n 100 Amostras usando o modelo xt 10 wt 7 w t-1 onde w t. iid N 0,1 Para esta simulação, um gráfico de séries temporais dos dados da amostra segue Podemos t dizer muito a partir deste gráfico. A amostra ACF para o simulada Os dados a seguir vemos um pico no intervalo 1 seguido por valores geralmente não significativos para atrasos anteriores 1 Observe que a amostra ACF não corresponde ao padrão teórico do MA 1 subjacente, que é que todas as autocorrelações para atrasos passado 1 será 0 A As amostras diferentes teriam uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas teriam provavelmente as mesmas características gerais. Propriedades teóricas de uma série de tempo com um modelo MA 2. Para o modelo MA 2, as propriedades teóricas são as seguintes. Note que o único não nulo Valores na ACF teórica são para os retornos 1 e 2 Autocorrelat Ions para desfasamentos maiores são 0 Assim, uma amostra ACF com autocorrelações significativas nos retornos 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para retardos maiores indica um possível modelo MA 2. Os coeficientes são 1 0 5 e 2 0 3 Como este é um MA 2, o ACF teórico terá valores não nulos apenas nos retornos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não nulas são. Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, os dados de amostra não se comportam de forma bastante Tão perfeitamente como a teoria Nós simulamos n 150 valores de amostra para o modelo xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 onde w t. iid N 0,1 O gráfico de série de tempo dos dados segue Como com o gráfico de séries de tempo para O exemplo é típico para situações em que um modelo de MA 2 pode ser útil Existem dois picos estatisticamente significativos nos retornos 1 e 2, seguidos de não - Valores significativos para outros atrasos Note que devido ao erro de amostragem, a ACF da amostra não correspondeu O padrão teórico exatamente. ACF para General MA q Modelos. A propriedade dos modelos MA q em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para os primeiros q lags e autocorrelações 0 para todos os retornos q. Não-unicidade da conexão entre os valores de 1 e rho1 No modelo MA 1. No modelo MA 1, para qualquer valor de 1, o recíproco 1 1 dá o mesmo valor para. Por exemplo, use 0 5 para 1 e depois use 1 0 5 2 para 1 Você obterá rho1 0 4 Em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade, restringimos os modelos MA 1 para ter valores com valor absoluto menor que 1 No exemplo dado, 1 0 5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 1 0 5 2 não. Invertibilidade de modelos de MA. Um modelo de MA é dito ser invertible se for algébricamente equivalente a um modelo de ordem AR convergente infinito Ao convergir, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0 à medida que nos movemos de volta no tempo. A inviabilidade é uma restrição programada em Software de séries temporais usado para estimar o De modelos com termos MA Não é algo que verificamos na análise de dados Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA 1 são dadas no apêndice. Teoria Avançada Nota Para um modelo MA q com um ACF especificado, só existe Um modelo invertible A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes têm valores tais que a equação 1- 1 y - - qyq 0 tem soluções para y que caem fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos. No Exemplo 1, Teórica ACF do modelo xt 10 wt 7w t-1 e, em seguida, simulados n 150 valores a partir deste modelo e traçou a série de tempo de amostra e da amostra ACF para os dados simulados Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórica foram. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags de ACF para MA 1 com theta1 0 7 lags 0 10 cria uma variável chamada atraso que varia de 0 a 10 atrasos de trama, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, tipo h, ACF principal para MA 1 Com theta1 0 7 abline h 0 adiciona um eixo horizontal ao plot. Th E o primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto chamado acfma1 nossa escolha de nome. O comando de plotagem do 3º comando traça os retornos em relação aos valores ACF para os retornos 1 a 10 O parâmetro ylab rotula o eixo y e o parâmetro principal coloca um Título na trama. Para ver os valores numéricos do ACF simplesmente usar o comando acfma1.The simulação e parcelas foram feitas com os seguintes comandos. Lista ma c 0 7 Simula n 150 valores de MA 1 x xc 10 adiciona 10 para fazer média 10 Padrões de simulação para 0 gráfico x, tipo b, principal MA1 dados simulados acf x, xlim c 1,10, ACF principal para simulação Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 e depois simulamos n 150 valores a partir deste modelo e traçamos a série de tempo de amostra e a amostra ACF para o modelo simulado Dados Os comandos R utilizados foram. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 atrasos 0 10 retornos de trama, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, tipo h, ACF principal para MA 2 com theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 trama x, tipo b, principal simulado MA 2 série acf x, xlim c 1,10, ACF principal para simulado MA 2 Dados. Apêndice Prova de Propriedades de MA 1.Para os estudantes interessados, aqui estão as provas para as propriedades teóricas do modelo MA 1.Texto de variância xt texto mu wt theta1 w 0 texto wt texto theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 teta 21 sigma 2w. When h 1, a expressão anterior 1 W 2 Para qualquer h 2 , A expressão anterior 0 A razão é que, por definição de independência do wt E wkwj 0 para qualquer kj Além disso, porque o wt tem média 0, E wjwj E wj 2 w 2.Para uma série de tempo. Apply este resultado para obter O ACF dado acima. Um inversível MA modelo é aquele que pode ser escrito como uma ordem infinita AR modelo que converge para que os coeficientes AR convergem para 0 como nos movemos infinitamente de volta no tempo Vamos demonstrar invertibilidade para o modelo MA 1.Nós então Substituição 2 para wt-1 na equação 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At time t-2 a equação 2 torna-se. Nós então substituimos a relação 4 para w t-2 na equação 3. zt wt Theta1 z - teta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31w. Se continuássemos infinitamente, obteríamos o modelo de ordem infinita AR. No entanto, se 1 1, os coeficientes multiplicando os desfasamentos de z aumentarão infinitamente em tamanho à medida que retrocedermos no tempo Para evitar isso, precisamos de 1 1 Isto é A condição para um modelo MA invertible. Modelo de MA de Ordem Intrínseca. Na semana 3, veremos que um modelo AR 1 pode ser convertido em um modelo de MA de ordem infinita. Esta somatória de termos de ruído branco passado é conhecida como a representação causal de um AR 1. Em outras palavras, xt é um tipo especial de MA com um número infinito de termos Voltando no tempo Isto é chamado uma ordem infinita MA ou MA Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Recall na Semana 1, notamos que um requisito para um AR 1 estacionário é que 1 1 Vamos calcular o Var xt usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer phi1 1 caso contrário a série diverge.