Peter christoffersen back testing forex

Descrição do livro Um número crescente de instituições nos mercados desenvolvidos e em desenvolvimento adota modelos de risco quantitativos por razões competitivas e regulatórias. Para o risco de mercado, esses modelos são baseados em técnicas de valor em risco (VaR). O VaR é comumente usado para medir o quanto o valor de mercado de um ativo ou uma carteira de ativos provavelmente diminuirá ao longo de um determinado período de tempo. À medida que os bancos e as instituições financeiras dependem cada vez mais do VaR para medir o risco de mercado de suas carteiras de ativos, essas empresas precisam de um número cada vez maior de funcionários com experiência em tais modelos. Em muitos casos, o pessoal com experiência técnica é promovido para funções de risco de mercado com um conhecimento mínimo do assunto. A Referência do VaR reúne pesquisa e análise publicada sobre o VaR e o risco de mercado, tornando esta uma referência única para profissionais e pesquisadores. Os contribuintes eminentes apresentam um amplo espectro de perspectivas e discutem os prós e contras dos vários métodos de modelagem de risco de mercado. Este é um resumo inestimável para os profissionais que procuram uma avaliação independente do VaR e como e quando ele deve ser usado. Este volume aprofundado se concentra em regulamentos, modelagem e metodologias. As principais áreas discutidas incluem: Definição de VaR e onde e por que é usado. Prós e contras de medidas de VaR. Medidas de risco alternativas e por que não são populares Modelagem de volatilidade, em particular volatilidade multivariada Métodos de última geração, como a teoria do valor extremo E copulas. Leitura essencial para gerentes de risco, comerciantes, quentes e engenheiros financeiros que trabalham em bancos, empresas de investimento, empresas de gestão de ativos, casas de seguros e autoridades reguladoras. Também é recomendado para estudantes de mestrado, doutorado e professores pesquisando este campo. Detalhes do livro ISBN 9781904339816 Data de publicação 1 de agosto de 2007 Formato Tamanho 155mm x 235mm Biografia do editor Jon Danielsson Jon Danielsson possui doutorado na economia dos mercados financeiros e atualmente é leitor de finanças na London School of Economics. Suas áreas de pesquisa incluem risco financeiro, regulação dos mercados financeiros, volatilidade do mercado, modelos de movimentos extremos do mercado e microestrutura dos mercados cambiais. Ele publicou seu trabalho em uma variedade de periódicos acadêmicos e profissionais e discutiu seu trabalho em várias universidades, instituições financeiras e agências governamentais. Índice 1. Medidas de Risco 1. Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber e David Heath, Pensando Coerentemente (Risco, novembro de 1997) 2. G. Kaplanski e Y. Kroll, Medidas de Risco de Valor em Risco Vs Medidas de Risco Tradicionais: análise e pesquisa (JOR 4.3, Primavera de 2002) 3. A. Pfingsten, P. Wagner e C. Wolferink, uma investigação empírica da correlação de classificação entre diferentes medidas de risco (JOR 6.4, verão de 2004) 4. A. Chabaane, J.-P. Laurent, Y. Malevergne e F. Turpin, medidas de risco alternativas para investimentos alternativos (JOR 8.4, verão de 2006) SEÇÃO 2. Estimação dos modelos de risco 5. Jon Danielsson e Philipp HartmannampCasper De Vries, The Cost of Conservatism (Risk, January 98) 6 Torben Andersen, Tim Bollerslev, Francis Diebold e Paul Labys, Great Realization (Risk, março de 2000) 7. JH Venter e PJ de Jongh, Selecionando uma distribuição de inovação para modelos GARCH para melhorar a eficiência da estimativa de risco e volatilidade (JOR 6.3, Primavera de 2004) 8. J. Hull e A. White, Incorporando a atualização de volatilidade no método de simulação histórica para VaR (JOR 1.1, Fall 1998) 9. Peter Christoffersen e S237lvia Gon231alves, risco de estimativa na gestão de risco financeiro (JOR 7.3, Primavera de 2005 ) SECÇÃO 3. Modelos multivariados, correlações, copulas 10. Robert Engle e Joseph Mezrich, GARCH para grupos (Risco, agosto de 1996) 11. S. Turkay, E. Epperlein e N. Christofides, teste de estresse de correlação para o valor em risco (JOR 5.4 , Verão 2003) 12. F. Audrino e P. Buhlmann, Sincronizando séries temporais financeiras multivariadas (JOR 6.2, Inverno 200304) 13. Y. Malevergne e D. Sornette, Como explicar os movimentos extremos entre ações individuais e o mercado (JOR 6.3, Primavera de 2004) SEÇÃO 4. Grandes eventos, crises e gorduras 14. Paul EmbrechtsampSidney ResnickampG. Samorodnisky, Living on the Edge (Risco, janeiro de 1998) 15. Michael Dacorogna e Peter Blum, Extreme forex move (Risk, Fevereiro de 2003) 16. John Hull, The power law (Risco, março de 2007) 17. Koedijk, R. Huisman e Rachel Pownall, VaR-x: colas gordas na gestão de risco financeiro (JOR 1.1, outono de 1998) 18. C. Brooks e G. Persand, Value-at-risk e crash do mercado (JOR 2.4, Summer 2000) SEÇÃO 5. Avaliação de Modelos e Sistemas (testes de volta e testes de estresse) 19. Turan Bali e Salih Neftci, A relatividade da volatilidade (Risco , Abril de 2001) 20. Jeremy Berkowitz, Pressupostos de teste (Risco, maio de 2002) 21. J. Lopez, Avaliação regulatória de modelos de valor em risco (JOR 1.2, Inverno 199899) 22. Gerhard Stahl, Carsten S. WehnampAndreas Zapp, Backtesting no Trading Book (JOR 8.2, Winter 200506) 23. Sean D. Campbell, uma revisão dos procedimentos de backtesting e backtesting (JOR 9.2, Inverno 200607 ) Clientes que compraram isso também compraram Uma coleção dos artigos mais importantes e influentes publicados no The Journal of Risk selecionados e apresentados pelo editor-chefe Philippe Jorion - em um volume de aniversário que apresenta o corpo de conhecimento de ponta em métodos quantitativos para Medir os riscos financeiros das carteiras complexas. Editado por Philippe Jorion Destinado a usuários avançados de modelos de preços de opções, este relatório técnico é um guia passo a passo para engenheiros financeiros que procuram novas técnicas quantitativas para avaliação e opções de preços. Por Marcello Minenna e Paolo Verzella Por um longo tempo, o novo Acordo de Basileia foi identificado principalmente com o Pilar I. À medida que os modelos do Pilar II começaram a ser estabelecidos e validados, os bancos tornaram-se cada vez mais conscientes da relevância estratégica do Pilar II. Pilar II no Novo Acordo de Basileia: O Desafio do Capital Econômico leva você a todas as vertentes principais do Pilar II. Aborda o quadro regulatório e mostra como conciliar as várias fontes reguladoras. Editado por Andrea Resti com um prefácio Michael GordyElementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 1 Backtesting e Stress Testing Elements of Financial Risk Management. Apresentação sobre o tema: Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 1 Testes de Teste e Teste de Estresse de Gestão de Riscos Financeiros. Transcrição da apresentação: 1 Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 1 Testes de teste e teste de estresse Elementos de gerenciamento de risco financeiro Capítulo 13 Peter Christoffersen 2 Visão geral O objetivo deste capítulo é considerar as previsões de medidas de risco ex ante do modelo e comparar Com o retorno de carteira realizado ex post. A previsão da medida de risco poderia assumir a forma de um Value-at-Risk (VaR), um déficit esperado (ES), a forma de toda a distribuição de retorno ou talvez a forma da cauda esquerda Da distribuição apenas Queremos ser capazes de testar qualquer uma dessas medidas de risco de interesse. Os procedimentos de backtest podem ser vistos como uma verificação diagnóstica final do modelo de risco agregado, complementando os outros vários diagnósticos específicos. Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 Por Peter Christoffersen 2 3 Visão geral O material no capítulo será abordado da seguinte forma: fazemos uma breve olhada no desempenho De alguns VaRs de vida real de seis grandes bancos comerciais O agrupamento de violações do VaR nesses VaRs da vida real fornece um alimento sóbrio para o pensamento. Nós estabelecemos procedimentos para VaRs de backtesting. Começamos por apresentar um teste incondicional simples para a probabilidade média de uma violação VaR Nós Em seguida, teste a independência das violações do VaR Finalmente, combine o teste incondicional e o teste de independência em um teste de cobertura VaR condicional correta. Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 3 4 Visão geral Consideramos o uso de variáveis ​​explicativas para testar o VaR Isso é feito Em um quadro baseado em regressão Nós estabelecemos procedimentos de backtesting para a medida de insuficiência esperada Ampliamos o foco para incluir toda a forma da distribuição de retornos. As previsões distributivas também podem ser testadas, e nós sugerimos maneiras de fazê-lo. Os gerentes de risco geralmente se preocupam com a maioria Sobre ter uma boa previsão da cauda esquerda da distribuição Elementos de Fin Gestão de Riscos Anual Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 4 5 Visão geral Nós, portanto, modificamos o teste de distribuição para se concentrar em testar a esquerda da distribuição somente. Nós definimos o teste de estresse e fornecemos uma pesquisa crítica sobre a forma como ele é frequentemente implementado Com base nessa crítica, nós Sugerem um quadro coerente para testes de estresse Figura 13.1 mostra o desempenho de alguns VaRs da vida real Figura mostra as superações do VaR em seis grandes bancos comerciais dos EUA durante o período de janeiro de 1998 a março de 2001 Elements of Financial Risk Management Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 5 6 Figura 13.1: Excessos de valor em risco de seis principais bancos comerciais Elementos de gerenciamento de risco financeiro Segunda edição 2017 por Peter Christoffersen 6 7 Visão geral Sempre que o retorno da carteira realizada é pior do que o VaR, a diferença entre os dois é mostrada sempre que o O retorno é melhor, zero é mostrado. A diferença é dividida pelo desvio padrão do portfólio em O período O retorno é diário, e o VaR é reportado para uma taxa de cobertura de 1. Para ser exato, traçamos a série temporal de Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 7 8 Visão geral O Banco 4 não possui violações e, em geral, os bancos têm menos violações do que o esperado. Assim, os bancos em média relatam um VaR que é mais alto do que deveria. Isso poderia ser devido aos bancos deliberadamente querendo ser cautelosos ou os sistemas VaR serem tendenciosos. Outro culpado é que os retornos reportados pelos bancos contêm lucros não relacionados ao comércio, que aumentam o retorno médio sem substancialmente Aumento do risco do portfólio Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 8 9 Visão geral Mais importante, observe o agrupamento de violações do VaR As violações para cada um dos bancos 1, 2, 3, 5 e 6 cai dentro de um período de tempo muito curto e Muitas vezes em dias adjacentes Este agrupamento de violações do VaR é um sinal sério de falta de especificação do modelo de risco. Esses bancos provavelmente dependem de uma técnica como Histórico Simulação (HS), que é muito lenta ao atualizar o VaR quando a volatilidade do mercado aumenta. Esta questão foi discutida no contexto da crise do mercado de ações de 1987 no Capítulo 2 Elementos da Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 9 10 Visão geral Aviso também Como as violações do VaR tendem a ser agrupadas em vários bancos Muitas violações parecem estar relacionadas ao resgate de inadimplência da Rússia e Long Term Capital Management no outono de 1998. O agrupamento de violações nos bancos é importante desde a perspectiva do regulador porque aumenta a possibilidade de um Crise bancária em todo o país Motivada pela evidência sóbria da falta de especificação nos VaRs de bancos comerciais existentes, apresentamos um conjunto de técnicas estatísticas para modelos de gerenciamento de risco de backtesting. Elements of Financial Risk Management Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 10 11 VaRs Backtesting Recorde que um VaR p t1 Mede promessas de que o retorno real só será pior do que o VaR p t1 forec Ast p. 100 do tempo Se observarmos uma série temporal de previsões ex ante de VaR ex ante e retornos passados ​​ex post, podemos definir a seqüência de sucesso das violações do VaR como Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 11 12 VaRs de Backtesting A sequência de sucesso Retorna um 1 no dia t1 se a perda nesse dia fosse maior do que o número VaR previsto antecipadamente nesse dia. Se o VaR não fosse violado, então a sequência de sucesso retorna 0 Quando testar o modelo de risco, construímos uma seqüência. Em T dias indicando quando as violações passadas ocorreram Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 12 13 A Hipótese Nula Se estiver usando o modelo de VaR perfeito, em seguida, dada toda a informação disponível para nós no momento em que a previsão do VaR é feita , Não devemos poder prever se o VaR será violado. Nossa previsão da probabilidade de uma violação do VaR deve ser simplesmente p todos os dias. Se pudéssemos prever as violações do VaR, essas informações poderiam ser usadas para construir um modelo de risco melhor. Elementos De Hipótesis Nulo A sucessão de violações deve ser completamente imprevisível e, portanto, distribuída de forma independente ao longo do tempo como uma variável Bernoulli que leva o valor 1 com probabilidade p e o valor 0 com probabilidade (1 - p) Eu escrevo: Elements of Financial Risk Management Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 14 Se p é 12, então o iid A distribuição de Bernoulli descreve a distribuição de obter uma cabeça ao jogar uma moeda justa. A função de distribuição de Bernoulli é escrita 15 A Hipótese Nula Quando os modelos de risco de backtesting, p não serão 12, mas sim da ordem de 0,01 ou 0,05 dependendo da taxa de cobertura do VaR. A sequência de sucesso de um modelo de risco corretamente especificado deve ser assim Uma seqüência de lançamentos aleatórios de uma moeda, que surge cabeças 1 ou 5 do tempo, dependendo da taxa de cobertura do VaR. Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 15 16 Teste de Cobertura incondicional Primeiro queremos testar se a fração de As violações obtidas para um modelo de risco particular, chamá-lo, é significativamente diferente da fração prometida, p. Chamamos isso de hipótese de cobertura incondicional Para testá-lo, nós escrevemos a probabilidade de um iid Bernoulli () hit sequence Elements of Financial Risk Management Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 16 onde T0 e T1 são número de 0s e 1s na amostra Podemos calcular facilmente a partir disso, a fração observada de violações na seqüência 17 Plug-in de Teste de Cobertura Incondicional As estimativas de máxima verossimilhança (ML) de volta à função de verossimilhança dão a probabilidade otimizada como Eletrodomésticos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 17 Podemos verificar a hipótese de cobertura incondicional usando um teste de razão de verossimilhança Sob a cobertura incondicional, hipótese nula que p, Onde p é a taxa de cobertura de VaR conhecida, temos a probabilidade de um teste de cobertura incondicional assintóticamente, ou seja, como o número de observações, T, vai para o infinito, o teste será distribuído como um 2 com um grau de liberdade. Substituindo no Funções de verossimilhança, escrevemos Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 por Peter Christoffersen 18 Quanto maior o valor do LR uc é mais improvável, a hipótese nula é verdadeira Escolhendo um nível de significância de dizer 10 para o teste, teremos um valor crítico da distribuição 2 1 19 Teste de Cobertura incondicional Se o teste LR uc O valor é maior do que. Então, rejeitamos o modelo de VaR no nível 10. Alternativamente, podemos calcular o valor de P associado à nossa estatística de teste. O valor de P é definido como a probabilidade de obter uma amostra que esteja em conformidade mesmo com a hipótese nula do que a amostra em que realmente Foi dado que a hipótese nula é verdadeira. Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 19 20 Teste de Cobertura incondicional Neste caso, o valor P é calculado como Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 20 Onde denota a Função de densidade cumulativa de uma variável 2 com um grau de liberdade Se o valor P estiver abaixo do nível de significância desejado, então rejeitamos a hipótese nula. Se, por exemplo, obtivermos um valor de teste de 3,5, então, o valor P associado é 21 Teste de Cobertura incondicional Se tivermos um nível de significância de 10, então rejeitaremos a hipótese nula, mas se nosso nível de significância for apenas 5, então não rejeitaremos o nu Que o modelo de risco está correto em média. A escolha do nível de significância se resume a uma avaliação dos custos de fazer dois tipos de erros: podemos rejeitar um modelo correto (erro Tipo I) ou não poderíamos rejeitar (isto é, Aceitar) um modelo incorreto (erro Tipo II). Aumentar o nível de significância implica maiores erros de Tipo I, mas menores erros de Tipo II e vice-versa. Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 21 22 Teste de Cobertura Incondicional No trabalho acadêmico, um nível de significância de 1, 5 ou 10 é tipicamente usado No gerenciamento de riscos, os erros de Tipo II podem ser muito caros, de modo que um nível de significância de 10 pode ser apropriado. Muitas vezes, não temos um grande número de observações disponíveis para testes anteriores, e nós normalmente não teremos um grande número de violações, T 1, que são as observações informativas. Portanto, é sempre melhor confiar em valores de P simulado em Monte Carlo em vez dos 2 elementos de distribuição de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 22 23 Teste de Cobertura incondicional Os valores P simulados para Um valor de teste particular pode ser calculado pela primeira geração de 999 amostras de iid aleatório Bernoulli (p) variáveis, onde o tamanho da amostra é igual à amostra atual em questão. Dadas essas amostras artificiais, podemos calcular 999 estatísticas de teste simuladas, chamá-las. O valor P simulado é então calculado como a parcela de valores simulados de LR uc que são maiores que o valor de teste LR uc realmente obtido Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 23 24 Teste de Cobertura Incondicional Podemos escrever Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 24 onde 1 () assume o valor de um se o argumento for verdadeiro e zero caso contrário Para calcular os testes em primeiro lugar, nós Precisa de amostras onde as violações de VaR realmente ocorreram, é necessário que possamos alguns na sequência de sucesso Se, por exemplo, descartamos amostras simuladas com zero ou uma violação antes de prosseguir com o cálculo do teste, então estamos condicionando o teste ao ter observado Pelo menos duas violações 25 Teste de Independência Devemos estar preocupados se todas as violações do VaR ou hits em uma amostra estiverem acontecendo em torno da sa O tempo que foi o caso na Figura 13.1 Se as violações de VaR estiverem agrupadas, o gerente de risco pode essencialmente prever que, se hoje for uma violação, então, amanhã, é mais do que p.100 provavelmente também uma violação. Isso claramente não é satisfatório. Em tal situação, o gerente de risco deve aumentar o VaR para diminuir a probabilidade condicional de uma violação ao prometido. Nossa tarefa é estabelecer um teste que poderá rejeitar o VaR com violações em cluster. Elementos de Gerenciamento de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 Por Peter Christoffersen 25 26 Teste de Independência Para esse fim, suponha que a sequência de sucesso dependa ao longo do tempo e que possa ser descrita como a chamada sequência de Markov de primeira ordem com matriz de probabilidade de transição. Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 26 Essas probabilidades de transição simplesmente significam que condicional em hoje é uma não violação (isto é, eu t 0), então a probabilidade de que amanhã seja uma violação (ou seja, eu t1 1) é 01 27 Teste de Independência A probabilidade de ser um ser um dia A violação dada hoje também é uma violação é definida por Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 27 O Markov p de primeira ordem Roperty refere-se ao pressuposto de que apenas o resultado de hoje importa para o desfecho de amanhã. Como apenas dois resultados são possíveis (zero e um), as duas probabilidades 01 e 11 descrevem todo o processo. Da mesma forma, a probabilidade de que amanhã seja uma violação dada hoje não é uma violação É definido por 28 Teste de Independência A probabilidade de uma não-violência após uma não-violência é 1- 01 e a probabilidade de uma não-violência após uma violação é 1- 11 Se observarmos uma amostra de observações T, a função de verossimilhança do Markov de primeira ordem Processo como Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 28 onde T ij, i, j 0,1 é o número de observações com aj após um teste de independência i 29 Tomando as primeiras derivadas em relação a 01 e 11 e definindo esses derivados Para zero, podemos resolver as estimativas de máxima verossimilhança. Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 por Peter Christoffersen 29 Usando então o fato de que T as probabilidades têm que somar a uma, temos 30 Teste de Independência que dá a matriz de probabilidades de transição estimadas Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 30 Permitir a dependência na sequência de sucesso corresponde a permitir que 01 seja diferente de 11 Normalmente, estamos preocupados com a dependência positiva, o que equivale à probabilidade de uma violação após uma violação (11) ser maior do que a probabilidade de uma violação após uma não-violência (01) 31 Teste de independência Se, por outro lado, os sucessos são independentes Ao longo do tempo, a probabilidade de uma infração amanhã não depende da violação ou não de hoje, e nós escrevemos 01 11 Com independência, a matriz de transição é, portanto, elementos da Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 31 Podemos testar a Hipótese de independência que 01 11 usando um teste de razão de verossimilhança 32 Teste de Independência onde é a probabilidade sob o a Hipótese linear do teste LR uc Em grandes amostras, a distribuição da estatística de teste LR ind também é 2 com um grau de liberdade. Mas podemos calcular o valor P usando a simulação como fizemos antes. Mais uma vez, geramos 999 amostras artificiais de i. i.d. Bernoulli, calcula 999 estatísticas de testes artificiais e descobre a parcela de valores de teste simulados que são maiores do que o valor de teste real. Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 32 33 Teste de Independência Como uma questão prática, ao implementar os testes LR ind, podemos realizar amostras onde T 11 0 Neste caso, simplesmente calculamos a função de verossimilhança como Elementos de Gerenciamento de Risco Financeiro Segunda edição 2017 por Peter Christoffersen 33 34 Testes de cobertura condicional Em última análise, nos preocupamos em testar simultaneamente se as violações de VaR são independentes e o número médio de violações é correto. Podemos testar em conjunto para independência e cobertura correta usando o teste de cobertura condicional Elementos de Risco Financeiro Segundo o relatório, Peter Christoffersen 34, que corresponde a testar que 01 11 p 35 Elementos de Teste de Cobertura Condicional do Gerenciamento de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 35 Observe que o teste LR cc assume a probabilidade da hipótese nula no teste LR uc E combina com a probabilidade da alternância Hipóteseativa no teste LR ind. Portanto, 36 Testes de cobertura condicional para que o teste conjunto de cobertura condicional possa ser calculado simplesmente somando os dois testes individuais para cobertura incondicional e independência. Como antes, o valor P pode ser calculado a partir da simulação Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 36 37 Teste de dependência de ordem superior No Capítulo 1, usamos a função de autocorrelação (ACF) para avaliar a dependência ao longo do tempo em retornos e retornos quadrados. Podemos, naturalmente, usar o ACF para avaliar a dependência na sequência de sucesso do VaR, bem como o Ploting As autocorrelações de sequência de sucesso em relação à sua ordem de atraso mostrarão se o modelo de risco dá origem a batidas autocorrelacionadas, o que não deve ser como no Capítulo 3, a significância estatística de um conjunto de autocorrelações pode ser formalmente testada usando a estatística de Ljung-Box Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 37 38 Teste de Dependência de Ordem Superior Testa o nul L hipótese de que a autocorrelação para os atrasos 1 a m são todos conjuntamente zero através de Elements of Financial Risk Management Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 38 onde é a autocorrelação da seqüência de sucesso do VaR para a ordem de atraso 39 Teste para dependência de ordem superior A distribuição chisquared com M graus de liberdade é denotado por 2 m. Rejeitamos a hipótese nula que atingiu as autocorrelações por atrasos 1 a m são conjuntamente zero quando o valor de teste LB (m) é maior do que o valor crítico na distribuição qui-quadrado com m graus de liberdade Elementos da Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 39 40 Aumentar o Conjunto de Informações A vantagem de aumentar o conjunto de informações não é apenas aumentar o poder dos testes, mas também ajudar a entender as áreas nas quais o modelo de risco está mal especificado. Este entendimento é fundamental para melhorar ainda mais os modelos de risco. Se definimos o vetor de variáveis ​​disponíveis para o gerenciador de risco no tempo t como X t, então a hipótese nula de um modelo de risco correto pode ser escrita como Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 40 41 Aumentar o Conjunto de Informações A primeira hipótese diz que a probabilidade condicional de obter uma violação VaR no dia t1 deve ser independente de qualquer variável observada no tempo t e deve ser igual à taxa de cobertura VaR prometida, p Esta hipótese é equivalente à expectativa condicional de uma violação de VaR sendo Igual a p O motivo da equivalência é que eu t1 só pode assumir um dos dois valores: 0 e 1 Assim, podemos escrever a expectativa condicional como Elementos de Gestão de Riscos Financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 41 42 A Abordagem de Regressão Considere Regressando a sequência de sucesso no vetor de variáveis ​​conhecidas, X t Em uma regressão linear simples, teríamos Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 20 12 por Peter Christoffersen 42, onde o termo de erro e t1 é assumido como independente do regressor, X t. A hipótese de que EI t1 X tp é então equivalente a As X t é conhecida, levando expectativas que só podem ser verdadeiras se b 0 P e b 1 é um vetor de zeros 43 A Abordagem de regressão Nesta estrutura de regressão linear, a hipótese nula de um modelo de risco correto corresponderia, portanto, à hipótese Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 de Peter Christoffersen 43 que pode ser testada usando Um teste F padrão O valor P do teste pode ser calculado usando amostras simuladas como descrito anteriormente. Não há, claro, nenhuma razão particular para que as variáveis ​​explicativas devem entrar na expectativa condicional de forma linear. Mas as formas funcionais não-lineares podem ser testadas Além disso, argumentamos que o Value-at-Risk tinha algumas desvantagens como medida de risco, e definimos o déficit esperado (ES), como uma viabilidade Os elementos alternativos da gestão de riscos financeiros Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 44 Agora queremos pensar sobre como testar a medida de risco ES Podemos testar a medida ES, verificando se o vetor X t tem alguma habilidade para explicar o desvio do déficit observado Ou perda, - R PF, t1, do déficit esperado nos dias em que o VaR foi violado 45 Backtesting Expected Shortfall Mathematical, podemos escrever Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 45 onde t1 se refere a dias em que o VaR Foi violada As observações em que o VaR não foi violado são simplesmente removidas da amostra. O termo de erro e t1 é novamente assumido como independente do regressor, X t. Para testar a hipótese nula de que o modelo de risco a partir do qual as previsões ES foram feitas Todas as informações de forma otimizada (b 1 0), e que não é tendenciosa (b 0 0), podemos testar conjuntamente que b 0 b 1 0 46 Backtesting a distribuição total Em vez de se concentrar em parti Medidas de risco cular da distribuição de retorno, como o VaR ou o déficit esperado (ES), poderíamos, em vez disso, decidir voltar a testar toda a distribuição de retorno do modelo de risco. Isso teria o benefício de potencialmente aumentar ainda mais o poder de rejeitar modelos de risco ruim. Note, no entanto, que Estamos mudando novamente o objeto de interesse: se apenas o VaR for relatado, por exemplo, da Simulação Histórica, não podemos testar a distribuição. Assumindo que o modelo de risco produz uma previsão de distribuição cumulativa para retornos, chame-o F t () Elementos de Gerenciamento de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 46 47 Backtesting da Distribuição Completa Então, no final de cada dia, depois de ter observado o retorno real do portfólio, podemos calcular a probabilidade dos modelos de risco de observar um retorno abaixo do real. Denotaremos esta probabilidade de transformação por Elements of Financial Gerenciamento de Riscos Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 47 Se estiver usando o modelo de risco correto para prever Distribuição de eturn, então não devemos ser capazes de prever modelos de risco a probabilidade de cair abaixo do retorno real. Em outras palavras, as séries temporais de probabilidades observadas devem ser distribuídas de forma independente ao longo do tempo como uma variável uniforme (0,1) 48 Backtesting the Entire Distribution We, portanto, Deseja considerar testes de hipótese nula Elementos de Gestão de Risco Financeiro Segunda Edição 2017 por Peter Christoffersen 48 A função de distribuição Uniforme (0,1) é plana no intervalo de 0 a 1 e zero em qualquer outro lugar. Como a variável é uma probabilidade, deve mentir No intervalo de zero a um. Um diagnóstico visual na distribuição seria simplesmente construir um histograma e verificar se parece razoavelmente liso. Se os desvios sistemáticos de uma linha plana aparecem no histograma, então concluiremos que a distribuição do risco O modelo é mal especificado. 49 Backtesting the Entire Distribution Por exemplo, se o verdadeiro retorno da carteira segue uma distribuição de Fat-tailed Students t (d), mas o gerente de risco usa um modelo de distribuição normal, então veremos demais. É perto de zero e um, muitos em torno de 0,5, e poucos em outros lugares. Esta seria apenas outra maneira de dizer que os dados de retorno observados têm mais observações nas caudas e em torno de zero do que a distribuição normal permite. Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 49 50 Figure 13.2: Histogram of the Transform Probability Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 50 51 Backtesting the Entire Distribution Figure 13.2 shows the histogram of a sequence, obtained from taking F t (R PF, t1 ) to be normally distributed with zero mean and variance d(d-2), when it should have been Students t(d), with d 6 Thus, we use the correct mean and variance to forecast the returns, but the shape of our density forecast is incorrect The histogram check is of course not a proper statistical test, and it does not test the time variation in Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 51 52 Backtesting the Entire Distribution If we can predict using information available on day t, then is not i. i.d. and the conditional distribution forecast, F t (R PF, t1 ) is therefore not correctly specified either We want to consider proper statistical tests here Unfortunately, testing the i. i.d. uniform distribution hypothesis is cumbersome due to the restricted support of the uniform distribution Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 52 53 Backtesting the Entire Distribution We therefore transform the i. i.d. Uniform to an i. i.d. standard normal variable using the inverse cumulative distribution function, -1 We write Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 53 We are now left with a test of a variable conforming to the standard normal distribution, which can easily be implemented We proceed by specifying a model that we can use to test against the null hypothesis 54 Backtesting the Entire Distribution Assume again, for example, that we think a variable X t may help forecast Then we can assume the alternative hypothesis Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 54 Then the log-likelihood of a sample of T observations of. under the alternative hypothesis is where we have conditioned on an initial observation Parameter estimates can be obtained from maximum likelihood or from linear regression 55 Backtesting the Entire Distribution We can then write a likelihood ratio test of correct risk model distribution as Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 55 where the degrees of freedom in the 2 distribution will depend on the number of parameters, nb, in the vector b 1 If we do not have much of an idea about how to choose X t, then lags of itself would be obvious choices 56 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution In risk management, we often only really care about forecasting the left tail of the distribution correctly Testing the entire distribution as we did above, may lead us to reject risk models which capture the left tail of the distribution well, but not the rest of the distribution Instead we should construct a test which directly focuses on asses ses the risk models ability of capturing the left tail of the distribution which contains the largest losses Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 56 57 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution Consider restricting attention to the tail of the distribution to the left of the VaR p t1 that is, to the 100. p largest losses If we want to test that the observations from, for example, the 10 largest losses are themselves uniform, then we can construct a rescaled variable as Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 57 58 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution Then we can write the null hypothesis that the risk model provides the correct tail distribution as Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 58 or equivalently Figure 13.3 shows the histogram of corresponding to the 10 smallest returns The data again follow a Students t(d) distribution wi th d 6 but the density forecast model assumes the normal distribution 59 Figure 13.3: Histogram of the Transform Probability from the 10 Largest Losses Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 59 60 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution We have simply zoomed in on the leftmost 10 of the histogram from Figure 13.2 The systematic deviation from a flat histogram is again obvious To do formal statistical testing, we can again construct an alternative hypothesis as in Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 60 for t1 such that R PF, t1 61 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution We can then calculate a likelihood ratio test Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 61 where nb again is the number of elements in the parameter vector b 1 62 Stress Testing Due to the practical constraints from managing large portfolios, risk managers often work wi th relatively short data samples This can be a serious issue if the historical data available do not adequately reflect the potential risks going forward The available data may, for example, lack extreme events such as an equity market crash, which occurs very infrequently Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 62 63 Stress Testing To make up for the inadequacies of the available data, it can be useful to artificially generate extreme scenarios of main factors driving portfolio returns and then assess the resulting output from the risk model This is referred to as stress testing, since we are stressing the model by exposing it to data different from the data used when specifying and estimating the model Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 63 64 Stress Testing At first pass, the idea of stress testing may seem vague and ad hoc Two key issues appear to be how should we interpret the output of the r isk model from the stress scenarios, and how should we create the scenarios in the first place We deal with each of these issues in turn Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 64 65 Combining Distributions for Coherent Stress Testing VaR and ES are proper probabilistic statements: What is the loss such that I will loose more only 1 of the time (VaR) What is the expected loss when I violate my VaR (ES) Standard stress testing does not tell the portfolio manager anything about the probability of the scenario happening, and it is therefore not at all clear what the portfolio rebalancing decision should be Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 65 66 Combining Distributions for Coherent Stress Testing Once scenario probabilities are assigned, then stress testing can be very useful To be explicit, consider a simple example of one stress scenario, which we define as a probability distribution f stress ( ) of the vector of factor returns We simulate a vector of risk factor returns from the risk model, calling it f ( ), and we also simulate from the scenario distribution, f stress ( ) Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 66 67 Combining Distributions for Coherent Stress Testing If we assign a probability of a draw from the scenario distribution occurring, then we can combine the two distributions as in Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 67 Data from the combined distribution is generated by drawing a random variable U i from a Uniform(0,1) distribution If U i is smaller than , then we draw a return from f stress ( ) otherwise we draw it from f( ) 68 Combining Distributions for Coherent Stress Testing Once we have simulated data from the combined data set, we can calculate the VaR or ES risk measure on the combined data. If the risk measure is viewed to be inappropriately high then the portfolio can be rebalanced. Assigning the probability, , also allows the risk manager to backtest the VaR system using the combined probability distribution f comb ( ) Any of these tests can be used to test the risk model using the data drawn from f comb ( ) Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 68 69 Choosing Scenarios Having decided to do stress testing, a key challenge to the risk manager is to create relevant scenarios The risk manager ought to do the following: Simulate shocks which are more likely to occur than the historical data base suggests Simulate shocks that have never occurred but could Simulate shocks reflecting the possibility that current statistical patterns could break down Simulate shocks which reflect structural breaks which could occur Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 69 70 Choosing Scenarios While largely portfolio specific, the long and colorful history of financial crises may give inspiration for scenario generation. Scenarios could include crises set off by political events or natural disasters. Scenarios could be the culmination of pressures such as a continuing real appreciation building over time resulting in a loss of international competitiveness. The effects of market crises can also be very different They can result in relatively brief market corrections or they can have longer lasting effects Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 70 71 Figure 13.4: The Fifteen Largest One-day Percentage Declines on the Dow Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 71 72 Stress Testing the Term Structure of Risk The Filtered Historical Simulation (or bootstrapping) method to construct the term structure of risk can be used to stress test the term structure of risk as well Rather than feeding randomly drawn shocks through the model over time we can feed a path of historical shocks from a stress scenario through the model The stress scenario can for example be the string of daily shocks observed from September 2008 through March 2009 The outcome of this simulation will show how a stressed market scenario will affect the portfolio under consideration Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 72 73 Figure 13.5: Bear Market Episodes in the Dow Jones Index Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 73 74 Summary Real life VaRs. Backtesting VaR. Unconditional and conditional approaches. A Regression-based Approach. Backtesting Expected Shortfall. Backtesting Distributions and Distribution tails. A Coherent Approach to Stress Testing. Stress Testing the Term Structure of Risk Elements of Financial Risk Management Second Edition 2017 by Peter Christoffersen 74